有一平板絕緣層內面溫度為 270℃，外面以熱對流方式散失到 20℃的空氣中，平板厚度為 4 cm，熱傳導係數 K=1.2W/m℃，若要使平面外面的溫度不超過 70℃，試求其對流熱傳係數的極小值？

本題考點

一維穩態熱傳，平板導熱與表面對流串聯時熱通量相等。

正解理由

穩態下通過絕緣層的導熱熱通量，等於外表面對流散失的熱通量。導熱依傅立葉定律 q＝K×(T₁－T₂)÷L，對流依牛頓冷卻定律 q＝h×(T₂－T∞)。由 K＝1.2 W/m℃、L＝0.04 m、內外面 270℃ 與 70℃ 得 q＝6000 W/m²；令 6000＝h ×(70－20)，解得 h＝120 W/m²℃。h 小於此值即帶不走 6000 W/m²，外表面溫度將高於 70℃，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   60 W/m²℃ 僅帶走 60 × 50＝3000 W/m²，不及導熱的 6000 W/m²，溫度會超過 70℃。

2. (B)

   120 W/m²℃ 對應 120 × 50＝6000 W/m²，與導熱熱通量相等，即所求最小值。

3. (C)

   240 W/m²℃ 可帶走 12000 W/m²，溫度會低於 70℃，但不是極小值。

4. (D)

   480 W/m²℃ 可帶走 24000 W/m²，符合限制但遠大於最小值。

演算步驟

1. q＝K×(T₁－T₂)÷L＝1.2 W/m℃ ×(270℃－70℃)÷ 0.04 m＝6000 W/m²
2. q＝h×(T₂－T∞)：6000＝h ×(70℃－20℃)
3. h＝6000 W/m² ÷ 50℃＝120 W/m²℃

記憶點

本題把兩個最基本的熱傳定律串在一起。傅立葉定律描述固體內的熱傳導，熱通量與溫度梯度成正比、與導熱係數 K 成正比；牛頓冷卻定律描述固體表面與流體之間的對流，熱通量與表面和流體的溫差成正比、與對流熱傳係數 h 成正比。穩態的定義就是各斷面熱通量相等、溫度不隨時間改變，所以兩式可以直接畫等號，這是解題的樞紐。

更一般的寫法是熱阻串聯：導熱熱阻 R＝L÷K，對流熱阻 R＝1÷h，總熱通量 q＝(T內－T∞)÷(L÷K＋1÷h)。用本題數值驗算，L÷K＝0.04 ÷ 1.2＝0.0333 m²℃/W，1÷h＝1 ÷ 120＝0.00833 m²℃/W，兩者相加為 0.04167；(270－20)÷ 0.04167＝6000 W/m²，與分段計算完全一致。考場上寫完答案用這條式子回頭驗算一次，可以同時檢查兩段的數字有沒有抄錯。

物理意義上，熱阻大的那一段承擔較大的溫降。本題導熱熱阻是對流熱阻的四倍，溫降也恰為四倍，200℃ 對 50℃。h 越大代表對流越強，表面溫度就越貼近流體溫度。常見的 h 量級可以記成一組對照：空氣自然對流約 5 至 25 W/m²℃，空氣強制對流約 10 至 200 W/m²℃，水的強制對流則可達數千。K 值則是材料特性，數值越小隔熱性能越好，這是防火被覆與隔熱材選用的依據。

延伸考點：同型題常改成多層牆求界面溫度、改成給定表面溫度求所需厚度，或加入輻射項改用等效總熱傳係數，解法都是先把各段熱阻寫出來再串聯。