標準狀態下，在一間長 8 公尺、寬 5 公尺、高 3 公尺的密閉空間內，請問要加入多少體積（立方公尺）的二氧化碳，才能使室內二氧化碳之體積濃度達到 30 %？

本題考點

密閉空間內二氧化碳稀釋至設定體積濃度所需之放出體積計算。

正解理由

放出後室內壓力升高，多出來的氣體由縫隙溢出，溢出的是已混合的混合氣；等效於把 V 體積二氧化碳全部加入、混合成 Vr＋V 後再擠出 V 體積混合氣，室內殘留 V×Vr／（Vr＋V），除以 Vr 得體積分率 V／（Vr＋V）；令其等於 C／100（C 為以百分數表示的設計濃度），殘餘氧濃度＝21×（1−C／100）。整理得 V＝Vr×C／（100−C）；代入 Vr＝120 立方公尺、C＝30，得 51.4 立方公尺，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   51.4 回代得 51.4／（120＋51.4）＝0.300，恰為 30%，殘餘氧 14.7%，與前提相符，為應選項。

2. (B)

   96 回代得 96／（120＋96）＝0.444，濃度 44.4%，遠高於設定值。

3. (C)

   86.2 回代得 86.2／（120＋86.2）＝0.418，濃度 41.8%，同樣偏高。

4. (D)

   43 接近自由流出型對數式之結果（約 42.8），依本題前提回代 43／（120＋43）＝0.264，僅 26.4%。

演算步驟

1. Vr＝8 m×5 m×3 m＝120 m³
2. V＝Vr×C／（100−C）＝120 m³×30／70＝51.4 m³

記憶點

V＝Vr×C／（100−C）的推導前提是：空間體積固定，二氧化碳放出後室內壓力升高，多出來的氣體由縫隙排出，而排出的是已與二氧化碳混合的混合氣。理想化成兩個步驟最好算——先把體積 V 的二氧化碳全部加進去，與原有 Vr 體積的空氣混合成總體積 Vr＋V，此時二氧化碳占 V／（Vr＋V）；再擠出 V 體積的混合氣，被帶走的二氧化碳為 V×V／（Vr＋V），室內殘留 V×Vr／（Vr＋V），除以室容積 Vr 仍得 V／（Vr＋V）。令其等於 C／100（C 為以百分數表示的設計濃度），交叉相乘得 100V＝C×Vr＋C×V，移項即得 V＝Vr×C／（100−C）。分母務必是一百減設計濃度。

同一件事用氧濃度寫，就是教材常見的 V＝Vr×（21−O₂）／O₂：室內原有氧約占 21%，稀釋後殘餘氧濃度＝21×Vr／（Vr＋V）＝21×（1−C／100）。本題 C＝30，殘餘氧＝14.7%，代入得 V＝120×（21−14.7）／14.7＝51.4 立方公尺，與前式完全一致。若把前提換成「排出的是純空氣」，室內氣體總量仍維持 Vr，二氧化碳分率為 V／Vr，達 30% 時只需 36 立方公尺，並不在選項之中。

自由流出型的對數式 V＝Vr×ln〔100／（100−C）〕在本題會得到約 42.8 立方公尺。兩式排出的都是混合氣，差別在放出與排氣的時序：對數式假設放出與排氣連續同時進行、室內隨時均勻混合，排氣在濃度還低的階段就開始，被帶走的二氧化碳較少；前式相當於一次全部加入後再一次排出，排掉的整批都已達 30%，損失較大，所需放出量因而較多。兩式最後留在室內的二氧化碳都是 120×30%＝36 立方公尺，差別只在過程中排掉多少。

數值感方面，設計濃度與所需放出量並非線性：30% 需室容積的 0.43 倍、50% 需 1.0 倍、65% 需約 1.86 倍。殘餘氧濃度 14.7% 已低於一般認為可維持燃燒的下限，二氧化碳的滅火機制以窒息為主，並輔以液態二氧化碳氣化吸熱帶來的冷卻作用。標準狀態一詞在本題只是說明氣體體積以同溫同壓計，不必再做莫耳體積換算。