某一線徑 2.0 m/m 之電線 1 km 長之電阻值為 5.657 Ω，熱阻抗為 378。若周遭溫度為 20℃，當此 10 cm 長之電線通過 10 安培時，其芯線溫度（℃）約為多少？

本題考點

電線通電發熱的焦耳定律與熱阻抗的運用,由發熱功率推算芯線溫升。

正解理由

依焦耳定律,導體發熱功率 P＝I²R;所生熱量經絕緣被覆與周圍空氣散出,穩態時溫升與發熱功率成正比,比例常數即熱阻抗 Rθ,故 ΔT＝Rθ×P,芯線溫度＝周遭溫度＋ΔT。本題先將每公里 5.657 Ω 換算為 10 公分長的電阻,求出發熱功率後乘以熱阻抗 378 得溫升約 21.4℃,加上周遭 20℃ 得芯線溫度約 41.4℃,四捨五入為 41℃,故選 B。

逐項排除

1. (A)

   31℃ 對應溫升僅 11℃,約為正解溫升的一半,係熱阻抗或長度換算少乘一次所致。

2. (B)

   溫升 21.4℃ 加周遭 20℃ 得 41.4℃,與選項相符,為應選項。

3. (C)

   51℃ 需溫升達 31℃,反推熱阻抗約需 550,與題給的 378 不符。

4. (D)

   61℃ 需溫升 41℃,約為正解溫升的兩倍,常見於長度換算多取一個數量級或電流未平方所得。

演算步驟

1. R＝5.657 Ω/km×(0.1 m÷1,000 m/km)＝5.657×10⁻⁴ Ω;
2. P＝I²R＝(10 A)²×5.657×10⁻⁴ Ω＝5.657×10⁻² W;
3. ΔT＝378 ℃/W×5.657×10⁻² W≈21.4℃;
4. T＝20℃＋21.4℃≈41.4℃。

記憶點

焦耳定律 P＝I²R 是電氣火災所有計算題的共同起點。導體電阻 R＝ρL/A,與長度成正比、與截面積成反比,所以題目給「每公里電阻」時,務必先按實際長度等比縮放——本題 10 公分是 1 公里的一萬分之一,電阻也是一萬分之一,這一步算錯就整題偏掉一個數量級。熱阻抗的角色則可類比歐姆定律:把溫差看成電壓、熱流看成電流,ΔT＝Rθ×P 與 V＝IR 形式完全一致,單位為 ℃/W,數值愈大表示散熱愈差、同樣發熱下溫度升得愈高。

實際導體還有一層正回饋:銅的電阻溫度係數約 0.00393/℃,溫度上升會使電阻再增大,發熱隨之增加。常溫附近溫升二十餘度時影響僅數個百分點,可以忽略,但在過載或半斷線造成局部高溫時,這個正回饋會加速惡化,是電線起火的重要機制。

與法規面的安培容量觀念相通:電線的容許電流不是由電線本身決定,而是由被覆材料的容許溫度決定。一般 PVC 被覆長期容許溫度約 60℃、耐熱 PVC 約 75℃、交連聚乙烯約 90℃,配線設計即以「發熱後導體溫度不超過此值」反推可通過的電流,散熱條件差(集中配管、埋設、束線)時熱阻抗上升,安培容量必須折減。

易混淆對照:題幹的「線徑 2.0 m/m」是導體直徑 2.0 公釐,截面積約 3.14 mm²,與常寫成「2.0 mm²」的截面積規格不同,兩者混淆會使電阻估算失準。延伸考點包括:同樣的電流下,接觸不良處因接觸電阻遠大於導體電阻而形成局部熱點;半斷線使有效截面積驟減、電阻與發熱急升;串接多個高功率電器造成過載,都是由這條公式推導出的火災成因。