假設火場中只含一種燃料且均勻分布，起火後火勢循 t2 成長理論持續成長，且火災成長常數呈定值。已知起火後第 1 分鐘燒耗燃料 1 公斤，則再經 2 分鐘後，從起火開始起算總共燒耗若干公斤之燃料？

本題考點

t² 火災成長理論下熱釋放率隨時間平方上升，累計燒耗量則與時間三次方成正比。

正解理由

依 t² 火災成長模式，熱釋放率 Q = αt²，α 為定值之火災成長常數。燒耗質量等於累計熱釋放量除以燃燒熱，而後者是熱釋放率對時間的積分，積分使冪次加一，故燒耗量與時間三次方成正比。起火後 1 分鐘燒掉 1 公斤，再經 2 分鐘即自起火起算共 3 分鐘，總量為 1 ×（3÷1）³ = 27 公斤，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   4 公斤誤把累計量當成與時間一次方成正比，忽略熱釋放率本身仍在加速上升。

2. (B)

   8 公斤把時間比誤取為 2（只算再經的 2 分鐘）再套三次方，錯在起算點應為起火時刻。

3. (C)

   9 公斤把累計燒耗量誤當成與 t² 成正比（3² = 9），混淆了熱釋放率與累計量的冪次。

4. (D)

   正確。累計燒耗量與時間三次方成正比，3³ = 27，乘上第 1 分鐘的基準 1 公斤得 27 公斤。

演算步驟

1. Q = αt²（kW）；
2. E = ∫₀ᵗ αt²dt = αt³ ÷ 3（kJ）；
3. m = E ÷ ΔHc（kg）。
4. t₁ = 1 min 時 m₁ = 1 kg；
5. t₂ = 1 + 2 = 3 min。
6. m₂ = m₁ ×（t₂ ÷ t₁）³ = 1 kg ×（3 ÷ 1）³ = 27 kg。

記憶點

t² 火災成長模型是性能式設計與避難安全驗證的基礎工具。國際通行寫法為 Q = 1000 ×（t ÷ t_g）² kW，t_g 是熱釋放率成長到 1,000 kW（約 1 MW）所需秒數，依此把火災分成四級：極快速 t_g 約 75 秒（軟質聚胺酯泡棉、易燃液體池火）、快速約 150 秒（堆積紙箱、成衣貨架）、中速約 300 秒（木製家具、床墊）、慢速約 600 秒（厚實木材、耐燃材料）。兩種寫法對照可得 α = 1000 ÷ t_g²，單位 kW/s²，即題目所稱的火災成長常數；t_g 越小、α 越大，火勢越猛。

單位層次要分清楚：熱釋放率 Q 的單位是 kW（等於 kJ/s），描述「當下火多大」，屬功率；把 Q 對時間積分得到的累計熱釋放量 E 單位是 kJ，描述「到目前為止總共放出多少熱」，屬能量；再除以燃燒熱 ΔHc（kJ/kg）才是燒掉的燃料質量。積分會把冪次加一，這就是熱釋放率是二次方、累計燒耗量卻是三次方的由來。凡題目問「累計燒掉多少公斤」「累計放熱多少」用三次方比，問「某時刻火勢多大」才用平方比，這是本型題唯一的陷阱點。

適用範圍也常入題：t² 只描述成長期，火勢進入最盛期後轉為通風控制，熱釋放率受開口因子 A√H 限制而趨於定值，不再依平方成長；衰退期則近似指數衰減。相關考點包括由 t_g 反推某時刻熱釋放率、由探測器或撒水頭動作條件反推動作時間，以及 ASET（可用避難時間）與 RSET（所需避難時間）的比較——後者正是把 t² 成長代入煙層下降模式的典型應用。