已知天花板噴流溫度攝氏 135℃，天花板噴流速度 1.8 m/s，環境初始溫度 20℃，感知撒水頭作動溫度攝氏 72℃，反應時間指數 67(m1/2s1/2)，感知撒水頭作動時間為下列何者？（提示： ln115=4.74, ln63=4.14）

本題考點

以反應時間指數(RTI)推算感知型撒水頭在天花板噴流中的作動時間。

正解理由

感熱元件升溫屬集總熱容模型，時間常數 τ＝RTI/√u，作動時間 t＝τ·ln[(T_g−T_a)/(T_g−T_act)]，T_g 為噴流溫度、T_a 為環境初始溫度、T_act 為標示溫度。代入 135℃、20℃、72℃、1.8 m/s 與 RTI 67，得約 29.9 秒，最接近 30 秒，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   正確。與公式計算結果 29.9 秒相符，四捨五入即 30 秒。

2. (B)

   錯誤。35 秒對應對數值約 0.70，與題目提示的 0.60 不符。

3. (C)

   錯誤。40 秒相當於把 RTI 67 直接當成時間常數再乘 0.60，漏掉除以噴流速度平方根。

4. (D)

   錯誤。45 秒對應對數值約 0.90(溫差比約 2.5)，本題溫差比為 115/63≈1.83，得不出此值。

演算步驟

1. ① τ＝RTI/√u＝67 m^½s^½ ÷ √(1.8 m/s)＝67÷1.342＝49.9 s。
2. ② 溫差比＝(135−20)℃ ÷ (135−72)℃＝115/63。
3. ③ ln(115/63)＝4.74−4.14＝0.60。
4. ④ t＝49.9 s×0.60≈29.9 s，即約 30 秒。

記憶點

反應時間指數 RTI 的推導出自集總熱容(lumped capacitance)假設：感熱元件體積小、內部溫度均勻，其升溫速率正比於元件與周遭熱氣的溫差、反比於元件的熱容量。把對流熱傳係數對流速的依存性(h∝√u)代入，整理後可得 RTI＝mc/(hA)·√u，量綱為 m^(1/2)s^(1/2)，這正是題目給定單位的由來。RTI 本身是元件的固有性質，與現場風速無關；現場的實際時間常數 τ＝RTI/√u 才會隨天花板噴流速度改變——噴流愈快，對流熱傳愈強，元件升溫愈快、作動愈早。

數值感要建立起來：標準反應型元件的 RTI 大致落在 80 至 350 之間，快速反應型則在 50 以下，兩者在同一火場中的作動時間可以差上數倍，這也是快速反應型被用於需要提早抑制火勢場合的原因。本題給 67，屬於偏快速的一端，因此在 135℃ 的噴流中僅約半分鐘即作動。另一個常被忽略的參數是傳導係數 C，用來修正元件經由支撐管件散失的熱量，精算式為 t 的積分形式；考題通常忽略 C 而採本題的簡化對數式。

公式的結構值得記牢：括號內分子 (T_g−T_a) 是熱氣相對環境的溫升驅動力，分母 (T_g−T_act) 是熱氣相對作動點的剩餘溫差。若熱氣溫度 T_g 不高於作動溫度 T_act，分母為零或負值，代表元件永遠達不到標示溫度，數學上對數發散、物理上就是不會作動——這是概念題常出的變化。溫差比愈大，對數值愈大，作動愈慢；反之熱氣溫度愈高，分母縮小，作動反而愈快。

易混淆對照：本式用的是天花板噴流的溫度與速度，不是火羽流軸心值，也不是室內平均溫度；探測器的作動時間同樣採此模型，只是把標示溫度換成探測器的動作溫度，定溫式可直接套用，差動式則要改用溫升率的判準。延伸考點常結合火羽流與天花板噴流的溫度衰減式，先求出撒水頭位置的 T_g 與 u，再代入本式求作動時間。